دفاعیه دکتری در دانشکده ریاضی 

 خانم پروین ترابی (دانشجوی دوره دکتری ریاضی کاربردی – آنالیز عددی)، هجدهم دیماه 1391 از رساله دکتری خود با عنوان «حل عددی برخی معادلات انتگرالی ولترا غیرخطی به روش نقطه ثابت» دفاع می­کند.

  چکیده این رساله که به راهنمایی دکتر خسرو مالک نژاد انجام گرفته است، به شرح زیر می­باشد.

  معادلات انتگرالی غیرخطی یکی از ابزارهای بسیار مهم در ریاضیات می­باشند که کاربردهای بسیار زیادی در مسائل فیزیکی و علوم مهندسی دارند. معادلات انتگرالی از دو جنبه دارای اهمیت فراوانی هستند. از یک طرف این معادلات به طور مستقیم یک مدل ریاضی برای برخی پدیده­های فیزیکی می­باشند. از طرف دیگر، از تبدیل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی حاصل می­شوند و لذا ابزار نیرومندی در بررسی و حل معادلات دیفرانسیل می­باشند. بسیاری از معادلات انتگرالی غیرخطی با روش­های تحلیلی قابل حل نیستند، لذا بکارگیری روش­های عددی برای حل معادلات انتگرالی غیرخطی، از اهمیت بسزایی برخوردار است .

  هدف این پایان­نامه، ارایه روشی عددی بر پایه تکنیک تکرارهای متوالی برای حل معادلات انتگرالی ولترا مرتبه دوم و نیز معادلات انتگرالی ولترا-همرشتاین غیرخطی می­باشد. در این روش، دنباله­ای از توابع بر اساس روش تکراری نقطه ثابت تولید می­گردد که به جواب معادله انتگرالی همگرا است. در ابتدا‏، وجود و یکتایی جواب این دسته از معادلات انتگرالی ولترا غیرخطی تحت شرایط مشخصی ‎‎‎ بر اساس قضایای نقطه ثابت و با بکارگیری اندازه نافشردگی بررسی می­گردد. در ادامه‏، روش نقطه ثابت مبتنی بر روش­های انتگرال­گیری عددی و درونیابی برای حل معادله انتگرالی ولترا غیرخطی بسط داده شده و شرایط لازم برای تضمین همگرایی این دنباله به دست می­آید. همچنین به تحلیل و بررسی خطای روش پرداخته و با به دست آوردن کران خطا‏، از آن در تقریب جواب معادله انتگرالی با دقت دلخواه استفاده می­گردد. در انتها‏، با به کار بردن روش پیشنهادی‏ برای چند مثال عددی‏، کارایی روش و نیز قابل کنترل بودن دقت جواب تقریبی با استفاده از کران خطای به دست آمده نشان داده می­شود و همچنین معادله انتگرالی ولترا غیرخطی که در مبحث فیزیولوژی حرکت برای نیروی انقباضی ماهیچه­ای توسط جمعی از متخصصان آنالیز عددی و فیزیولوژی به دست آمده است‏، با استفاده از این روش تکراری حل گردیده و دقت روش برای این معادله نیز نشان داده می­شود.